Educação
Apresentamos aqui um exemplo muito simples de atividade interdisciplinar que pode ser desenvolvida em uma turma de pré-universitários com conhecimentos muito básicos de geometria plana, geometria espacial e trigonometria. Originalmente desenvolvi este exemplo em 1981, quando eu era aluno do segundo ano do ensino médio. Espero que aproveitem.
Considere um polígono regular de n lados medindo k (cada um), área T e apótema a. Vale lembrar que o apótema de um polígono regular é o raio da circunferência inscrita ao polígono.
Considere agora uma pirâmide regular reta com n faces laterais, área total T (área da base B somada à área lateral L) e apótema a, lembrando que o apótema de uma pirâmide regular reta é a altura de cada face lateral que, por sua vez, é um triângulo isósceles.
É possível provar que, se b denota a aresta da base da pirâmide, então b/k = B/L = L/T = número de ouro.
A imagem abaixo ilustra o enunciado para o caso particular em que n = 5. Portanto, o polígono ilustrado é um pentágono regular. As faces laterais da pirâmide estão representadas em verde. Toda a parte branca da imagem tem uma área total igual à área da base da pirâmide.
Para quem não lembra, o número de ouro pode ser definido como o número real positivo cujo inverso é igual a ele mesmo somado de um. Tal enunciado admite duas soluções, a saber, uma positiva e uma negativa. Estamos interessados apenas na solução positiva, que é igual à metade da diferença entre a raiz quadrada de cinco e um. Isso corresponde a aproximadamente 0,618. É um número irracional, porém não transcendente.
Na internet é muito fácil encontrar informações sobre o número de ouro, o qual é empregado para definir proporções esteticamente atraentes em desenho, arquitetura e até mesmo na música.
Todas as pirâmides definidas como no enunciado acima têm as faces laterais com a mesma inclinação em relação à base. Essa inclinação é de aproximadamente 51 graus, 49 minutos e 38,25 segundos de arco. Este é o arco cujo co-seno é o número de ouro.
No caso especial em que n = 4, temos uma pirâmide com as mesmas proporções da Grande Pirâmide do Egito, a de Quéops. Na verdade essa coincidência de proporções é apenas aproximada (com uma margem de erro de aproximadamente um minuto de arco), pois a Pirâmide de Quéops foi severamente danificada ao longo dos milênios de sua existência. Originalmente ela contava com uma guarnição que a revestia, a qual foi destruída pelo próprio povo egípcio para a construção de casas.
Do ponto de vista matemático, este problema é bastante rico, apesar de exigir poucos conhecimentos. A partir de área de triângulo, pode-se deduzir a área de qualquer polígono regular. Além disso, o aluno deve conhecer proporcionalidade entre lados de triângulos semelhantes e noções básicas de trigonometria. Saber resolver equações de segundo grau também é fundamental para lidar com o problema aqui proposto.
Do ponto de vista histórico, fica um pouco mais fácil compreender e apreciar os avançados conhecimentos matemáticos, arquitetônicos e de engenharia da antiga civilização egípcia, a qual também cultivava astronomia e medicina. E outros exemplos históricos podem ser apresentados sobre o uso de proporções áureas entre povos antigos.
Se o leitor quiser, pode estender o resultado acima para círculos e cones. Ou seja, dado um círculo de raio r e área S, é possível definir um cone reto com área total S, raio da base s e geratriz r, de modo que necessariamente s/r = B/L = L/S = número de ouro, sendo B e L as áreas lateral e da base do cone, respectivamente.
Ou seja, levando em conta que a mesma estética áurea é aplicável a pirâmides retas regulares quaisquer (e até mesmo a cones), fica a pergunta: por que os egípcios optaram apenas por bases quadradas?
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Educação
Matemática e História: um exemplo de interdisciplinaridade no ensino médio
Considere um polígono regular de n lados medindo k (cada um), área T e apótema a. Vale lembrar que o apótema de um polígono regular é o raio da circunferência inscrita ao polígono.
Considere agora uma pirâmide regular reta com n faces laterais, área total T (área da base B somada à área lateral L) e apótema a, lembrando que o apótema de uma pirâmide regular reta é a altura de cada face lateral que, por sua vez, é um triângulo isósceles.
É possível provar que, se b denota a aresta da base da pirâmide, então b/k = B/L = L/T = número de ouro.
A imagem abaixo ilustra o enunciado para o caso particular em que n = 5. Portanto, o polígono ilustrado é um pentágono regular. As faces laterais da pirâmide estão representadas em verde. Toda a parte branca da imagem tem uma área total igual à área da base da pirâmide.
Na internet é muito fácil encontrar informações sobre o número de ouro, o qual é empregado para definir proporções esteticamente atraentes em desenho, arquitetura e até mesmo na música.
Todas as pirâmides definidas como no enunciado acima têm as faces laterais com a mesma inclinação em relação à base. Essa inclinação é de aproximadamente 51 graus, 49 minutos e 38,25 segundos de arco. Este é o arco cujo co-seno é o número de ouro.
No caso especial em que n = 4, temos uma pirâmide com as mesmas proporções da Grande Pirâmide do Egito, a de Quéops. Na verdade essa coincidência de proporções é apenas aproximada (com uma margem de erro de aproximadamente um minuto de arco), pois a Pirâmide de Quéops foi severamente danificada ao longo dos milênios de sua existência. Originalmente ela contava com uma guarnição que a revestia, a qual foi destruída pelo próprio povo egípcio para a construção de casas.
Do ponto de vista matemático, este problema é bastante rico, apesar de exigir poucos conhecimentos. A partir de área de triângulo, pode-se deduzir a área de qualquer polígono regular. Além disso, o aluno deve conhecer proporcionalidade entre lados de triângulos semelhantes e noções básicas de trigonometria. Saber resolver equações de segundo grau também é fundamental para lidar com o problema aqui proposto.
Do ponto de vista histórico, fica um pouco mais fácil compreender e apreciar os avançados conhecimentos matemáticos, arquitetônicos e de engenharia da antiga civilização egípcia, a qual também cultivava astronomia e medicina. E outros exemplos históricos podem ser apresentados sobre o uso de proporções áureas entre povos antigos.
Se o leitor quiser, pode estender o resultado acima para círculos e cones. Ou seja, dado um círculo de raio r e área S, é possível definir um cone reto com área total S, raio da base s e geratriz r, de modo que necessariamente s/r = B/L = L/S = número de ouro, sendo B e L as áreas lateral e da base do cone, respectivamente.
Ou seja, levando em conta que a mesma estética áurea é aplicável a pirâmides retas regulares quaisquer (e até mesmo a cones), fica a pergunta: por que os egípcios optaram apenas por bases quadradas?
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